真真正正的簡諧運動教法以及背後的數學意義
前言
在高中數學跟物理裡面，三角函數可說是一個非常重要的數學工具。而其中最為重要也最常使用的便是正弦函數
以及餘弦函數
。
你說我有沒有刻意排擠tanx？嘿對我就是排擠他(故意。
這兩個三角函數對於推動數學與物理發展上有很大的重要性，尤其是對於波動的描述更是功不可沒。
而筆者在前幾篇文章裡面，針對關於基本的微分與積分的概念於「淺談微分」一文以及「淺談積分」有提過他們數學上以及物理上的意義。
並且在「三角函數的微分」一文中更進一步的提到正弦函數以及餘弦函數的微分公式的由來。
那在這一篇文章裡面，我們就來看這兩個三角函數在高中物理的簡諧運動上扮演那些角色吧！
你說，所以前面講的那些都是這邊的鋪陳嗎？
沒錯！！正是如此！
簡諧運動的種類非常多，甚至會包含到許多老師在上課時就會講解的環形天體問題、浮體在水中沉浮的問題等等，不過這邊筆者想要從相對來講比較簡單的兩個運動-水平彈力系統以及鉛直彈力系統，來看這兩個三角函數，在高中物理的簡諧運動上扮演什麼樣的角色。
水平彈力系統
基本公式推導
今天我們考慮在光滑平面上有一彈簧，原長為l且彈力係數為k，彈簧的一端固定於一面牆，另一端繫著一個質量為m的木塊，如下圖：
這個就是在高中物理裡面相對來說比較常見的問題，廣泛會出現在簡諧運動的章節、以及能量學中的彈力位能的題目之中。
直覺上木塊會受到彈簧拉扯的關係而在平面上來回震盪，現在我們就試著用數學式子來描述這個物理現象吧！
我們假設時間為t，而彈簧的伸長量為x(t)，且彈簧不論如何形變皆在彈性限度內，不會彈性疲乏。同時x(t)也是木塊對於彈簧原長的位移(所以他會有正負號的問題)。
由牛頓第二運動定律我們知道，木塊所受到的力可以表示如下：
其中，x(t)表木塊的位移函數。
由運動學課程中所講授的微積分的基本觀念，我們知道將位移對時間做一次微分後得到的x'(t)代表木塊的速度函數，而將速度再對時間做一次微分後得到的x''(t)代表木塊的加速度函數。
另一方面，虎克定律則告訴我們彈力正比於彈簧伸長量，即木塊所受到的力可以表示如下，這裡我們直接把向量包含在正負號之中較方便：
因此，我們可以整合上面的兩條式子，並且寫下木塊所滿足的運動方程式如下：
從上面的這條式子可以觀察到，這是一個方程式(廢話)，而這個方程式裡面其實包含了變數本身，以及變數的二次微分。
這類的描述變數以及變數的導數之間關係的方程式，我們稱之為「微分方程式(Differential Equation，簡稱D.E.)」。
而在這個微分方程式裡面只有涉及到一個變數，所以是微分方程式裡面的「常微分方程式(Ordinary Differential Equation，簡稱O.D.E.)」。
這一個微分方程式一般通解可以表示如下：
其中，c1和c2為兩個常數，還需要木塊的起始條件才能明確算出。
如果想要知道這個常微分方程式要怎麼解出的讀者，可以參考大學理工學院都會開課的「工程數學」或是「微分方程」的課程。
為了要求出這兩個常數，我們來實際看一個例子。
假設木塊一開始所在的位置並無拉扯彈簧，使彈簧保持原始長度，即
。
又我們假設木塊一開始有一個速度v，即
。
所以這個木塊所滿足的運動方程可寫成：
我們可以順利地求得木塊的運動方程式如下：
有興趣的同學可以自行將上式x(t)的通解代入微分方程式驗算看看，會需要搭配微分鏈鎖律及筆者在前一篇文章提到關於三角函數微分公式的計算公式歐！
其他運動特性討論
有了前面簡諧運動的位置對時間的函數時，我們將其微分一次後可得到木塊的速度函數如下：
搭配我們對於三角函數中正弦函數值域的理解，以及簡諧運動速度對於時間的函數，我們可以觀察到木塊最遠只會移動到
與
處，此時我們就稱之為水平彈力系統的「端點」。
同時也可以觀察到，水平彈力系統的木塊在端點的時候其速度為0。
另一方面，當木塊經過原點時，會有最大的速率
。
看到這邊讀者可能會說：「欸不是啊，你都用簡化過後的式子來做說明，那你怎麼確定所有的結果都是這樣的？」
嗯，說得非常有道理！
好，那我們回到木塊運動一般通解的式子，這邊怕讀者還要捲上去看很麻煩，所以這裡再貼一次XD。
我們可以利用三角函數的疊合技巧，將上式改寫如下：
其中α代表某個特別的相位，會跟物體一開始的起始位置有關。但因為筆者這邊只是想要觀察他的運動趨勢，所以可以先放著沒有關係。
我們觀察到，木塊會在原點x=0處左右來回震盪，此時我們稱原點x=0為「平衡點」。
若木塊一開始就靜止在平衡點位置的話，那麼它就永遠都處在平衡點位置一動也不動。
但是若一開始木塊偏離平衡點、或是待在平衡點但有速度的話，木塊就會受到彈簧拉力影響而左右震盪。
這也是平衡點這個名稱的由來，也就是說木塊一旦靜止在這個位置的時候，那就真的保證說木塊永遠會待在此處不動，否則就會以此點為中心左右來回震盪，這個中心點就像是木塊的平衡狀態的點一樣。
再來，我們把上式對時間微分一次得到木塊運動的速度函數如下：
我們可以發現，當x=0時，
會有最大值；當
時， 
也會有最大值。
代表木塊經過平衡點時速率最快，而木塊移到震盪的兩個端點時速率為零。
這不就跟我們前面，假設特定情況而得到的結論是相同的了嗎？所以說有時候為了想要快速理解一個問題，假設一個特定的情況來化簡問題，這是非常重要的事情兒！
簡諧運動與等速率圓周運動的關聯性
從改寫後的運動方程式我們也可以發現，木塊的運動可以看成是等速率圓周運動在任一軸上的投影。
原因是因為不論是木塊的位移函數還是速度函數，均為單一正弦或餘弦這兩個三角函數。
代表我們可以把等速率圓周運動的圓心當作是坐標原點，對於任一個時刻的位置和速度，我們都能利用相對應的正弦函數以及餘弦函數投影到x軸和y軸來描述彈力系統的運動情形。
所以一般在沒有常微分方程式的背景知識下，多數的物理老師在高中課程裡面教授簡諧運動時，才會有一句：「簡諧運動可以視為等速率圓周運動在任一軸上的投影」這樣的說法。其實是從微分方程式的結果中，去觀察簡諧運動的位置、速度隨著時間變化的關係，而得到的結論。
很抽象對不對？我們來看一張圖小小說明一下。
上圖是等速率圓周運動的情況，角度隨著時間的變化我們可以用ωt+φ來表示，其中ω代表等速率圓周運動的角速率。
而如果今天是水平的彈力系統，那就像上面這張圖一樣，等同於是把等速率圓周運動投影到x方向上，因此簡諧運動的位置對於時間的關係，就可以看成是等速率圓周運動的半徑R，乘以ωt+φ這個角度的cos值。
當然速度、加速度也可以用這種類比的方式來做處理，不過因為這個部分在普遍高中物理課程中，老師們都會說到相關的內容，因此筆者這邊就不提及太多課本內就會有的知識囉: D。
不過需要特別注意的事情是，我們是用「等速率圓周運動投影任一軸」的方式來理解簡諧運動，這兩個之間是屬於一個「類比關係」，並不是代表等速率圓周運動的投影「等於」簡諧運動。
雖然只是小小用語上的差異，但還是要非常講究的歐！
週期公式
有鑑於我們前面得到的結論：「簡諧運動是等速率圓周在任一軸上的投影」，那也就是說，一個完整的簡諧運動，就是等速率圓周運動走完一圈的情形。
那按照係數對照，等速率圓周運動還有簡諧運動的位置對於時間的函數關係，我們可以發現下面的關係式：
如果等速率圓周運動走完一圈的時間，其實就是一個完整簡諧運動時間的話，那我們就可以利用等速率圓周運動的週期算法，來推算簡諧運動的週期。而在等速率圓周運動中，其週期可以表示如下：
也因此我們就可以很容易計算此簡諧運動的木塊週期如下：
上面這個就是高中老師在上課的時候，都會要求學生一定要把它背起來的簡諧運動的週期公式啦！
是不是有一種：「娃喔，原來是這樣來的！」的感覺呢: D？
鉛直彈力系統
基本公式推導
這次我們考慮將彈簧懸掛至天花板，另一端一樣繫著木塊，這時候木塊除了受彈簧拉力外，還會受到自己本身的重力，示意圖如下：
假設沒有空氣阻力，彈簧伸長量一樣為x(t)，額外假設重力加速度為g，此時木塊所滿足的運動方程式可以表示如下：
一般通解則可寫為下：
其他相關運動分析
我們一樣用三角函數的疊合技巧，將上式改寫如下：
我們會發現木塊一樣會來回震盪，只是中心從原點x=0平移到
之處，此時我們稱為「平衡點」，這個量剛好是彈簧因虎克定律影響的伸長量。
而利用前面相同推導公式的方法，我們依然可以得到相同的週期公式如下：
表示木塊運動的週期不會隨著重力加速度的的影響而改變，而且此週期公式與水平彈簧系統所得到的一模一樣。
注意事項
一般而言，當木塊不只受彈力與重力時，其滿足的運動方程式就會寫成如下：
其中F(t)表示為一般外力，就會根據不同的題目或狀況有不同的列式了。
特別地，若考慮有空氣阻力影響的話，這種運動就不為簡諧運動了，運動方程式與其解的數學表示式也較複雜，為了避免越扯越遠，這裡就不向各位讀者做介紹啦: D。
結語
今天不論是考慮光滑平面上木塊拉扯彈簧，還是於未受到空氣阻力之下的天花板頂彈簧懸吊木塊，木塊均會很規律地來回震盪，即所謂的簡諧運動，在平衡點處有最大速率，在兩端點處速率為零。
在水平彈簧系統中平衡點為彈簧未受到任何力量拉扯的地方，即彈簧保持原長l時木塊所在之處。
而在鉛直彈簧系統中平衡點為彈簧因虎克定律受木塊重力下拉伸長之處，即彈簧伸長
後木塊所在之處。
這兩個系統的相同之處，就是木塊的運動週期均不受重力而影響。
讀者應該有發現，這跟高中物理課堂上會講到的內容可以說是完全相同的結論，雖然我們走了一條比較複雜的道路，卻得到了相同的結論，這就是物理這門學科非常神奇的地方！
有興趣的讀者，下次遇到物理上簡諧運動的題目時，不妨把這裡的知識與上課所講授的觀念做結合，期待你們會更喜歡數學和物理歐！: D
