空氣阻力、終端速度與降雨
不計空氣阻力的自由落體運動簡介
關於自由落體運動的介紹，依照現行108課綱底下的課程安排，會在9年級上學期的自然科提到運動學相關的知識時，於等加速度運動時有初步的介紹。接下來會再遇到的時候，就是高一基礎物理以及高二力學一的運動學章節內了。
不過自由落體這個運動現象還是會時不時地出現在後面像是牛頓運動學、能量學的考題內，甚至還有機會在靜電學的平行電板中的運動看到他的蹤影，可以說是無所不在XD。嘛，畢竟物理學就是一個學了前面以後，後面就會反覆一直出現然後前後觀念結合出成考題的科目。
自由落體運動的定義
自由落體運動本身的定義為，純粹受到星球表面的重力作用，而以初速度相對於觀察者為靜止的一個一維運動[1][2]。
地表自由落體的運動分析
重力加速度約為定值，以海平面且緯度45o為標準，其數值為9.8(m/s2)[1]。為了方便起見，筆者這邊後續都用g來代替重力加速度值。
因此地表自由落體可以視為一維的等加速度運動，並且按照自由落體初速度為0，且受重力加速度值g指向地心的特性。假設變項以初速度為v0，末速度為v，落下的高度為h、經過的時間為t，在我們令指向地心(也就是一般直觀或口語上的「向下」)為正且以初拋點為0時，可以將以往所學過的等加速度運動公式改寫如下：
根據等加速度運動的基本性質，結合自由落體的運動特性，可以分別得到鉛直方向位置對時間的關係圖(X-t圖、h-t圖)、鉛直方向速度對時間的關係圖(v-t圖)、加速度對時間的關係圖(a-t圖)如下：
雨滴與自由落體的問題緣起
根據前一個部分所提到的自由落體運動分析，我們可以知道，當不考慮空氣阻力時，由高空落下的物體全程會受到重力加速度值g的作用。因此根據等加速度運動公式，可以求得當一個物體自由落下高度h時的末速度值：
既然有了自由落體的概念，我們就可以計算在由高空落下的雨滴落下過後的末速度。
然而，在探討雨滴落下的末速度之前，我們必須對於雲的分類以及大致上的高度有一個基本的了解，才能比較明確的知道我們要探討的雨滴大概是從什麼樣的高度落下來的。
國際氣象組織(World Meteorological Organization, WMO)依據由氣象學家Luke Howard於1803年中的著作《論雲的變形》(The Essay on the Modification of Clouds)中，按照不同雲的形狀、組成、形成原因等將雲分為10大雲屬。並且將這10大雲屬分別劃為三個雲族：位於距地表6000公尺至7000公尺左右的高雲族，位於距地表2000公尺左右至6000公尺左右之中雲族，以及位於距地表2000公尺左右以下之低雲族[3]。另外則還有橫跨了三個不同雲族高度的直展雲族，常常造成短暫但是相當豐沛的降雨量[4]。
按照國際氣象組織所提供的分類以及Luke Howard的定性，天空中主要的降雨來源為積雨雲(Cumulonimbus)以及雨層雲(Nimbostratus)，而其中降雨來源又以雨層雲較為常見，且其雲底多為1200公尺以下。因此我們這邊在計算雨滴的高度時，便以1200公尺作為高度的參考依據。
當有一滴雨滴由高空降落時，代入自由落體公式可以計算到雨滴理論上應該要有的末速度：
根據上述的計算式子可以知道，當雨滴從高處落下時如果沒有任何的空氣阻力，雨滴落到地面的速度大約會是153(m/s)。對於這個數字沒有感覺嗎？那這邊簡單的做個計算給你看一下。
依照2009年的相關研究[5]顯示，雨滴在降落的時候會因為跟空氣的作用，在小的時候幾乎是圓形，而隨著體積越大時則會開始變成扁平狀。而體積越大的雨滴受到空氣的影響就越明顯，而導致到一定的大小時雨滴就會被切割為較小的雨滴，也因此最大的雨滴直徑會被限制在6(mm)的大小左右。而按照另一個研究[6]對於雨滴粒徑的分布探討，發現雨滴的直徑尺寸多數是落在0.5(mm)至4(mm)之間，也就是半徑落在0.25(mm)至2(mm)之間。
這邊先姑且不論雨滴本身的化學成分所帶來的密度差異，以及在落下的過程中的密度變化，我們假設雨滴的成分皆為水，因此密度為1(g/cm3)。因此我們可以簡單的利用密度、質量和體積的關係式，假設雨滴為均勻球體且為最大顆2(mm)半徑的情況下，計算一顆雨滴的質量如下：
接著我們利用牛頓第二運動定律以及動量衝量的概念，來計算平均一顆雨滴所造成的衝擊力大小，這邊我們假設你是淋雨的狀態，而雨滴跟你的腦袋接觸的時間為0.001秒，且雨滴最後會直接靜止在你的腦袋上(也就是末速度為0)，造成雨滴會有速度變化的作用力有二，一為雨滴所受到的重力(很多人在思考的時候很常忘記算這個部分XD)、二為腦袋給雨滴的正向力。
腦袋給雨滴的作用力，與雨滴給腦袋的作用力，根據牛頓第三運動定律，為「作用力與反作用力」之間的關係，也就是我們這邊想要了解雨滴對於腦袋的衝擊力。
根據前面的假設，我們假設腦袋給雨滴的作用力使用變項為N，可以列式如下：
由上面的式子可以知道，雖然我們前面說在計算正向力N時，應該要把重力的效果也納入考量。不過實際計算過後會發現，其實因為雨滴本身重量也不算大，相較之下其實後面的重力項是可以忽略的，而計算出來的衝擊力約為0.52(kgw)。嗯？你說你還是沒有感覺嗎？再說白話一點好了，這個重量就差不多是一瓶500ml的礦泉水壓在你身上的感覺。
而這只是單一顆雨滴，平常在下雨的時候絕對不可能只有一顆雨滴，一瓶滿滿的礦泉水壓在身上其實是有感覺的，那很多雨滴下在身上，等同於很多很多礦泉水壓在身上，那肯定也是有感覺到不行。
修但幾勒，這個結論跟我們平常淋雨的時候感覺是不是完全不相同？那到底問題出在哪裡？
受空氣阻力的雨滴與終端速度
是這樣的，雨雲本身存在於大氣層的對流層內，而對流層內充滿很多空氣分子。當雨滴在這些空氣分子所形成的「流體」裡面跑的時候，會使得雨滴本身除了受到重力以外，還會額外受到空氣阻力(Drag force)的作用。
在流體動力學中，在流體中移動的物體本身會受到一個來自流體，和運動方向相反的阻力，這個阻力會普遍性的存在在兩個流體層之間，或者是流體與固體之間。和以往我們所學的固體和固體之間的摩擦力不同，當物體在流體中受到阻力時，這個阻力會和物體移動的速度有關[8][9]。
物體在流體中所受到的阻力，會受到流體的性質、物體的大小形狀與特性的影響，可以阻力方程式(Drag equation)來進行描述如下[8]：
其中ρ為流體的密度(如果是在空氣中則是空氣的平均密度)，A為物體在流體中的有效面積，v為物體在流體中之速度，CD則是阻尼係數，是一個沒有因次的數字。一般來說會跟物體的形狀以及雷諾數(Reynolds number)有關。
而雷諾數則是在流體動力學之中，流體慣性力(inertial force)和黏性力(viscous force)的比值，用來預測流體狀態的無因次物理量，對於不同的流體來說雷諾數會有很多不同的表達方式，但一般來說都會包含流體的密度(Density)、黏滯性(Viscosity)、流體的流速以及特徵長度或尺寸。最基本的雷諾數可以表示如下[10]：
其中ρ為流體的密度，v為流體的平均流速、D即特徵長度而μ則為流體的黏滯性。雷諾數低的時候流體會呈現層流(Laminar flow)的狀態，流體的分子會在每一層中平順流動，相鄰層之間就像紙牌的堆疊一樣平順滑動，鮮少有或甚至幾乎沒有混合，當然也沒有漩渦的產生[11]。相反地，在雷諾數高的時候流體則是會呈現紊流(Turbulent flow)的狀態，流體的流速跟壓力沒有一定的變化規律，流體分子也沒有明顯的平行層，很常會有互相混合在一起的現象[12]。
扯遠了扯遠了，我們還是繼續回到原本的阻力方程式。根據實驗觀察，在雷諾數較高，也就是流體的密度較大、流速較快而且黏滯性較小時，阻力係數可以幾乎視為定值，而此時我們的阻力就會跟流體流速的平方成正比。而在雷諾數低，也就是流體密度較小、流速較慢且黏滯性較大時，阻力係數會約略與雷諾數的倒數成正比，因此我們結合雷諾數本身的定義以及阻力方程式，可以知道在雷諾數較低時阻力與流速之間的關係為線性關係。兩者的公式如下：
接著，依照前面我們講過的阻力方程式和流速之間關係的背景知識，再回到最一開始我們遇到的雨滴問題。之前我們在分析雨滴的受力時，只有考慮到重力的作用而計算出自1200(m)高的雨雲雲底落到頭上時的速度大約為153(m/s)。在考慮到空氣阻力時，由於阻力與雨滴的運動方向恆反向，因此我們可以將雨滴的質量先以m作為變項，假設雨滴為正球形且其半徑為R，繪製雨滴所受到的力圖如下：
在阻力方程式中的A，即是投影的等效面積，在球形的雨滴中即為上圖中斜線的部分，可以半徑R和圓面積的公式來計算。此時我們利用牛頓第二運動定律來計算雨滴運動過程中所受到的加速度量值，來觀察雨滴運動的情形：
如果今天的流體狀況是屬於高雷諾數的情況(流體的密度較大、流速較快且黏滯性較小)時，則前述的式子可以下表示：
反之，如果是低雷諾數的情形(流體的密度較小、流速較慢且黏滯性較大)，則前述的式子可以下表示：
從前面的兩條化簡式子，我們可以看出，不管是在高雷諾數還是低雷諾數的情況，當雨滴掉落時速度漸大造成阻力漸大並使得加速度漸小。當達到一定的速度時，雨滴所受到的加速度為0。在這個情況下雨滴就不會有加速度而是以等速度的方式落下，此時雨滴所具有的速度即終端速度(terminal velocity, vt)。而又在終端速度時，我們可以知道雨滴所受到的重力與拖曳力達到力平衡，因此可以根據不同的雷諾數而列式終端速度的計算如下：
我們這邊以高雷諾數的流體情形來考量大氣中的情況，因為與現實較符合，與前面的條件相同假設雨滴為半徑是2(mm)的正球體，雨滴密度主要成分為水，因此密度為1000(kg/m3)，而阻尼係數這邊我們根據雨滴的形狀和經驗公式簡單取0.6來概略估算[15]。
利用高雷諾數的情況在計算終端速度實際值時會需要流體的密度，而在這裡我們討論的對象是空氣中的雨滴，故理想上我們可以使用理想氣體方程式(當然這個是很理想的理想上)來求出於1大氣壓、20oC時候的空氣密度來代入終端速度的公式。
代入我們目前空氣的條件，也就是1大氣壓、20oC的情形，而這邊務必記得要將所有的單位都轉為SI制代入，加上理想氣體常數此時使用的是8.314。
將前述所得到的空氣密度數值，結合前面的其他條件代入高雷諾數情況的終端速度公式，可以計算終端速度如下：
由前面的公式可以知道，當考慮到空氣阻力時，雨滴落下時會以終端速度8.52(m/s)下降，比起之前純粹考慮重力時落到地面速度之153(m/s)來說小了非常多，根本是原本的二十分之一。而按照牛頓第二運動定律來說，打到腦袋上時對於腦袋瓜的正向力也會減為原本的二十分之一，如此一來就比較像我們平常下雨天淋雨的情況了。
進階延伸-受空氣阻力自由落體的速度對時間函數
前面我們討論到雨滴在空氣中會受到重力跟空氣阻力的作用，而空氣阻力因為與速度有關，造成雨滴落下的運動並非為等加速度而是變加速度運動，也利用牛頓第二運動定律得出，加速度的關係式。並且知道因為速度越來越大，而加速度會越來越小，而在加速度為0時則會以終端速度等速落下。
那確切來說，考慮空氣阻力的雨滴在大氣中速度跟時間的函數關係確切為何呢？這個就必須要用到大學的數學，也就是微分方程式的解題技巧了。
低雷諾數下受空氣阻力的雨滴速度與時間函數討論
根據我們前面的列式，這邊把他改寫成微分方程式的樣子如下：
這邊我們利用變數來做代換，簡化算式如下：
再來，因為我們的雨滴從空中落下時，在t=0時其初速度為0，我們將其代入u以後，可以解得u0的數值，接著我們在把原本的v換回來，就可以得到最後的速度隨著時間變化的關係式如下：
高雷諾數下受空氣阻力的雨滴速度與時間函數討論
一樣根據前面的做法，我們把原本在高雷諾數下受空氣阻力的雨滴的牛頓第二運動定律式子，改成微分方程式的形式。
從上面的式子可以看出來，其實這邊有許多的變項是屬於常數，像是雨滴的截面積、重量、阻力係數、重力加速度值等等，因此我們可以一個c來取代絕大多數的變項，先化簡這一個式子。等號右邊的dt沒有什麼太大的問題，相當好化簡，但是等號左邊dv的部分就比較麻煩，這裡我們採用乘法公式的方式，試著將v的關係式降階來化簡。
利用乘法公式拆開以後就會變成相加的項，積分就可以分別積分了，等號兩邊我們就補一個常數C。而現在我們將初始條件t=0代入，因為我們的雨滴是自由落體的關係，不管是否有受到空氣阻力或是空氣阻力為什麼款式，初速度皆為0，因此t=0時v=0。代入會發現C=0，因此我們後面就把常數的部分省略不寫。
再來就是一系列的化簡，最後再把之前用c取代掉的常數們補回，就可以得到下方的高雷諾數空氣阻力下，雨滴的速度和時間的關係式。
為了確保我們前面算的東西是正確的，這高雷諾數以及低雷諾數的速度對於時間的關係式結果，必須要透過驗證，而我們驗證的方法就是利用終端速度。按照前面對於終端速度的理解，當時間夠大的時候速度會因為加速度越來越小而趨近於等速度的方式下降，因此我們這邊假設一個最極端的情況，也就是時間趨近於無限大。我們可以觀察到當時間t趨近於無限大時，不管是高雷諾數或是低雷諾數的終端速度，與我們前面計算出來的結果是一致的。
圖形趨勢
既然我們現在有兩種不同情況下的雨滴速度對於時間的關係式，但因為長相非常的複雜，所以看了這個關係式可以說是完全沒有感覺。既然這樣筆者這邊就簡單的用GeoGebra來將兩個不同情況的關係式圖形匯出。然而，因為計算雨滴的力學分析時會使用到許多的常數跟假設，這邊既然我們只是想要看兩個關係式的趨勢的話，筆者這邊就盡量將常數的部分簡化，只有匯出整個趨勢提供給讀者們參考。
不管是哪一種情況，都可以發現在經過時間夠久時，都會趨近於一個速度的值，這跟我們前面分析的加速度還有終端速度的關係是相同的結論。
而又可以觀察這個圖形的切線斜率變化，因為我們是依照速度對於時間的關係來進行繪圖，因此圖形上各點的切線斜率為加速度。仔細觀察會發現，隨著時間越來越大，切線斜率越來越小，意味著加速度的值會越來越小。這也跟我們前面在做牛頓運動定律的分析時，對於加速度的結論是相同的。
不過這邊必須要說明的事情是，因為我們這個繪圖並沒有代入實際上的環境條件、雨滴的狀況等等，因此並不能因此說明在高雷諾數或低雷諾數的情形下，那一個情況是會優先到達終端速度。而事實上隨著條件的不同，到達終端速度的所需時間也會不相同。
大考的相關考題
雖然說考慮空氣阻力的問題以及終端速度，依照我們前面分析起來幾乎可以說是完全超出國高中的課綱範圍。但事實上從以前的課綱內容開始，其實就很常以空氣阻力以及終端速度來命題。所以可以說這邊的觀念是滿重要的！筆者以下這邊簡單摘錄一些比較有名的歷屆試題。
【69年日大】
一跳傘員自高空跳下﹐由於空氣阻力﹐在著地前有一段時間他是等速下降的﹐設著地時之終端速度是10米/秒﹐此人體重及裝備共重100公斤，則在此段等速下降期間內，每秒所產生的熱能約為？
【78年日大】
一個重量為w的小石子被垂直上拋，其初速率是V0，設空氣施給小石子一阻力，其量值固定為f，而其方向與小石子運動之方向相反。求：(1)小石子上升時的最大高度？(2)小石子落地時的之速率？
【79年日大】
高空下落的雨滴,因受到空氣阻力,落地前會以等速下降。一雨滴的質量為2.7×10-7公斤,落地前以等速度20公尺/秒下降,設在此等速運動期間,雨滴受空氣阻力產生之熱量全部被雨滴吸收,且雨滴之質量保持不變,則此雨滴每秒溫度約升高幾度？
【101年學測】因為題目有點略長，這邊就直接以大考考卷的截圖
【102年學測】因為題目也是有點略長，這邊就直接以大考考卷的截圖
【107年學測】因為題目還是有點略長，這邊就直接以大考考卷的截圖(絕對不是筆者偷懶XD)
結論
能夠看到這裡，各位讀者真是辛苦了。本文一開始試著從國高中課綱的自由落體內容出發，引入到現實生活的降雨發現了一些問題，並且偷偷引入一些比較偏向大學的知識，試著用比較白話的方式來解釋降雨以及終端速度的關係。最後再回到大考的考題，試著讓讀者曉得，雖然空氣阻力是一個課綱內部一定會教的內容，但是大考倒是很常會出題，因此仍然算是一個重要的補充知識。
這一篇文章本來是來自於筆者在教書初期高中講義裡面的補充內容，主要是因為空氣阻力的題目真的太常考了，幾乎每隔幾年就會出來戳考生一下，因此小小的寫了一個補充講義。但是隨著教書的年份越來越多，看到的題目越來越多時，覺得原本的補充講義內容實在不夠，加上當時寫講義的時候只是大二生，很多內容都還沒有學得很透徹，也沒想明白。而長到這個歲數了，理科的能力也應該有所提升，就覺得差不多要來把比較詳細的內容補完補齊，結果資料越找越多越找越多，就變成這麼大一篇了Orz。
為了講求嚴謹，盡量在代入實際上的數字時能夠以目前現實生活遇到的狀況為主，像是雨雲的高度、雨滴的粒徑大小等等都特別去找氣象相關的資料引據，如果真的沒有這個數字，像是一大氣壓20度C溫度下的空氣密度，至少在推導上也要有足夠的依據。也盡量讓自己這篇文章講的每一句話都是有根據跟參考文獻的，雖然筆者自己寫這類文章是非常不喜歡引維基百科，但因為筆者大氣動力學跟流體力學的書，在修完課以後覺得這輩子不會再碰了就怒丟了XDDDD，只好勉強引一下作為來源。
這一篇文章真是讓筆者又重新複習微分方程式的解法、化學、流體力學等等的知識，還好還算寶刀未老，寫完的現在只希望下一篇可以不要這麼失控又這麼大一篇啦(立Flag達人)。
參考文獻
[1] Walker, J., Halliday, D., & Resnick, R. (2011). Fundamentals of physics. Hoboken, NJ: Wiley.
[2] Free fall - Wikipedia.
[3] World Meteorological Organization (WMO) ,Classifying clouds
[4] 中央氣象局，天空的魔術師—千變萬化的雲朵
[5] Emmanuel Villermaux, Benjamin Bossa (2009). Single-drop fragmentation distribution of raindrops. Nature Physics. 5(9): 697–702.
[6] McFarquhar, Greg (2010). Raindrop Size Distribution and Evolution. Rainfall: State of the Science. Geophysical Monograph Series. Vol.191, p.49–60.
[7] Drop(liquid) - Wikipedia.
[8] Drag(physics) - Wikipedia.
[9] NASA(2010). What is drag? URL：https://web.archive.org/web/20100524003905/http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/drag1.html
[10] Reynolds number - Wikipedia.
[11] Laminar flow - Wikipedia.
[12] Turbulence - Wikipedia.
[13] What is Laminar Flow? URL: https://www.simscale.com/docs/simwiki/cfd-computational-fluid-dynamics/what-is-laminar-flow/
[14] Viscosity - Wikipedia.
[15] Drag coefficient - Wikipedia.
