三角函數的微分
前言
先前已向各位讀者介紹過微分的概念,微分的概念就是求變化率,或者從幾何的觀點上來看可以說是求切線斜率,例如將位移對時間微分會得到速度對時間的函數,將速度對時間的函數再對時間微分會得到加速度對於時間的函數(聽起來好像在念繞口令)。
以往會在高二一開始運動學的部分,以多項式函數來說明位置、速度、加速度對於時間的關係。
但是這次筆者要來探討在物理上很重要的兩個三角函數的微分,分別是正弦函數和餘弦函數的微分。
為什麼會需要討論到三角函數之中的正弦和餘弦的微分?難道多項式函數的微分不夠用嗎?
這是因為我們會在高中物理的高二內容時,有專門的一個章節會提到簡諧運動(Simple Harmonic Motion,S.H.M.),而在簡諧運動的表示中其位置、速度、加速度對時間的關係,會大量使用到的三角函數表示法。
反之,當然也可以透過積分來求得這幾個函數之間的關係。
關於基本的微分積分的概念,可以參照筆者在「淺談微分」一文以及「淺談積分」一文中的內容。
不過在介紹到簡諧運動的時候,因為教學時間有限的關係,很常只是簡單的介紹sin函數的微分是cos,而cos的微分是-sin就這樣帶過了。
因此筆者左思右想覺得,對於想要知道公式是怎麼來的讀者,應該需要特別寫一篇小文章來說明。
幾個重要的極限值
我們先以一個探討三角函數的關係時,很常使用的一張圖為例如下:
而在進入三角函數的微分之前,我們必須先了解幾個很重要的極限值。
首先我們來看一個在數學和物理上非常重要的極限值:
要計算這個極限值,我們必須分別從右極限與左極限下手。
先來看右極限的部分,我們考慮一個單位圓(半徑為1單位的圓)如上圖,假設與正x軸夾角之弧度為x(x>0)且與單位圓交於C點,而A點和C點對正x軸的垂足分別為B點和D點。
則我們知道以下的幾個條件
且滿足
將上式同除以可得如下:
再取倒數得如下:
又因,利用夾擠定理可證得右極限:
接著我們來看左極限的部分,我們令,由上式右極限的結果我們知道:
再由三角函數廣義角的性質:
故得證左極限
最後,我們得到左右極限值均存在且相等,也因此證得:
再來,我們可以經過一些簡單的計算得到以下極限值:
首先利用三角函數中的半角公式
由簡單的計算得
令,可得:
正弦函數的微分
若我們將函數f(x)對x作微分得到函數g(x),其定義如下:
我們稱g(x)為f(x)之導函數,可記成。
現在我們想要求的導函數,也就是說我們需要會計算極限值:
由三角函數的和角公式
將其代入計算可得
意思就是說
餘弦函數的微分
接著,我們也想要求的導函數,也就是說我們需要會計算極限值
由三角函數的和角公式
將其代入計算可得
也就是說
綜合觀察
我們按照前述的證明,以及微分的公式可以觀察到正弦函數微分的規律如下:
換句話說,將sinx對x連續做2次微分後會差一個負號;而做4次微分後則會循環。
而餘弦函數的微分規律如下:
將cosx對x連續做2次微分後一樣會差一個負號;而做4次微分後一樣會循環。
結語
在高中數學的三角函數課中我們知道sinx和cosx這兩個三角函數有著緊密的關係,包括餘角關係和平方關係。
而在這一篇文章中我們又發現,微分又將這兩個三角函數更緊密連接在一起,這兩個三角函數的一次微分剛好互為彼此,且二次微分後會與自己差一個負號。
而sinx和cosx在簡諧運動中扮演很重要的角色,往後再向各位讀者做這部分的介紹,敬請期待: D