三角函數的微分
「 sin 和 cos 的微分不是硬背口訣，而是有邏輯的數學循環。」
這篇文章帶你走進三角函數微分的世界，不是只背「sin的微分是cos，cos的微分是-sin」，而是從極限值推導出來，讓你知道公式怎麼來的。文章也展示了sin和cos在微分後的循環規律，並點出它們在簡諧運動中的重要角色。讀完後，你會發現這些公式不只是課本上的符號，而是有邏輯、有脈絡的數學故事。內容包含：
- 為什麼要談三角函數的微分：
- 在簡諧運動中，位置、速度、加速度都離不開 sin 和 cos
- 多項式微分不夠用，三角函數也是物理中的主角之一
- 幾個關鍵的極限值：
- 例如 lim (sinx / x) 當 x→0 時等於 1
- 這些極限是推導公式的基礎
- sin 的微分：
- 從定義出發，利用和角公式與極限計算
- 最後得到 d/dx(sinx) = cosx
- cos 的微分：
- 同樣透過定義與極限
- 結果是 d/dx(cosx) = -sinx
- 循環規律：
- 連續微分四次會回到自己
- 教學延伸：
- 不只是背公式，而是理解公式背後的邏輯
- 幫助學生在物理課上更快連結到運動模型
前言
先前已向各位讀者介紹過微分的概念，微分的概念就是求變化率，或者從幾何的觀點上來看可以說是求切線斜率，例如將位移對時間微分會得到速度對時間的函數，將速度對時間的函數再對時間微分會得到加速度對於時間的函數(聽起來好像在念繞口令)。
以往會在高二一開始運動學的部分，以多項式函數來說明位置、速度、加速度對於時間的關係。
但是這次筆者要來探討在物理上很重要的兩個三角函數的微分，分別是正弦函數
和餘弦函數
的微分。
為什麼會需要討論到三角函數之中的正弦和餘弦的微分？難道多項式函數的微分不夠用嗎？
這是因為我們會在高中物理的高二內容時，有專門的一個章節會提到簡諧運動(Simple Harmonic Motion，S.H.M.)，而在簡諧運動的表示中其位置、速度、加速度對時間的關係，會大量使用到的三角函數表示法。
反之，當然也可以透過積分來求得這幾個函數之間的關係。
關於基本的微分積分的概念，可以參照筆者在「淺談微分」一文以及「淺談積分」一文中的內容。
不過在介紹到簡諧運動的時候，因為教學時間有限的關係，很常只是簡單的介紹sin函數的微分是cos，而cos的微分是-sin就這樣帶過了。
因此筆者左思右想覺得，對於想要知道公式是怎麼來的讀者，應該需要特別寫一篇小文章來說明。
幾個重要的極限值
我們先以一個探討三角函數的關係時，很常使用的一張圖為例如下：
而在進入三角函數的微分之前，我們必須先了解幾個很重要的極限值。
首先我們來看一個在數學和物理上非常重要的極限值：
要計算這個極限值，我們必須分別從右極限與左極限下手。
先來看右極限的部分，我們考慮一個單位圓(半徑為1單位的圓)如上圖，假設
與正x軸夾角之弧度為x(x>0)且與單位圓交於C點，而A點和C點對正x軸的垂足分別為B點和D點。
則我們知道以下的幾個條件
且滿足
將上式同除以
可得如下：
再取倒數得如下：
又因
，利用夾擠定理可證得右極限：
接著我們來看左極限的部分，我們令
，由上式右極限的結果我們知道：
再由三角函數廣義角的性質：
故得證左極限
最後，我們得到左右極限值均存在且相等，也因此證得：
再來，我們可以經過一些簡單的計算得到以下極限值：
首先利用三角函數中的半角公式
由簡單的計算得
令
，可得：
正弦函數的微分
若我們將函數f(x)對x作微分得到函數g(x)，其定義如下：
我們稱g(x)為f(x)之導函數，可記成
。
現在我們想要求
的導函數，也就是說我們需要會計算極限值：
由三角函數的和角公式
將其代入計算可得
意思就是說
餘弦函數的微分
接著，我們也想要求
的導函數，也就是說我們需要會計算極限值
由三角函數的和角公式
將其代入計算可得
也就是說
綜合觀察
我們按照前述的證明，以及微分的公式可以觀察到正弦函數微分的規律如下：
換句話說，將sinx對x連續做2次微分後會差一個負號；而做4次微分後則會循環。
而餘弦函數的微分規律如下：
將cosx對x連續做2次微分後一樣會差一個負號；而做4次微分後一樣會循環。
結語
在高中數學的三角函數課中我們知道sinx和cosx這兩個三角函數有著緊密的關係，包括餘角關係和平方關係。
而在這一篇文章中我們又發現，微分又將這兩個三角函數更緊密連接在一起，這兩個三角函數的一次微分剛好互為彼此，且二次微分後會與自己差一個負號。
而sinx和cosx在簡諧運動中扮演很重要的角色，往後再向各位讀者做這部分的介紹，敬請期待: D
FAQ
為什麼要學三角函數的微分？
因為在簡諧運動等物理模型裡，位置、速度、加速度都要用到 sin 和 cos 的微分。
sin 的微分為什麼是 cos？
透過定義、和角公式與極限推導，可以嚴謹地得到 d/dx(sinx) = cosx。
cos 的微分為什麼會多一個負號？
同樣從定義與極限出發，推導結果就是 d/dx(cosx) = -sinx。
sin 和 cos 的微分有什麼規律？
它們都有「四步循環」：連續微分四次會回到原本的函數。
這些公式在物理課上怎麼用？
最常見的就是簡諧運動，sin 和 cos 的微分直接對應到位置、速度與加速度的關係。
若芽🌱 / 馮馮
